Existe-t-il deux Suisses avec le même nombre de cheveux ?

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réponse simple

Réponse simple :

Admettons que vous souhaitiez ranger 8 chaussettes dans une commode à 5 tiroirs. Dans tous les cas, il est sûr qu'au moins l'un des tiroirs contiendra plus d'une chaussette.

Le principe est le même pour résoudre cette question. Le nombre maximum de cheveux est environ 200'0002 et il y a en moyenne 7'800'000 habitants en Suisse.

Imaginons que chaque Suisse possède un nombre différent de cheveux : le suisse N°1 est donc chauve, le suivant possède un seul cheveu et ainsi de suite :

 

N° du Suisse Nombre de cheveux
1 0
2 1
3 2
4 3
... ...
199'999 200'000

 

Combien de cheveux possédera le Suisse N° 200'000 ? Comme il ne peut pas en avoir plus de 200'000, il en aura forcément un nombre inférieur, c'est-à-dire le même nombre qu'un des autres habitants. Il y a donc forcément au moins 7'600'000 Suisses possédant un nombre de cheveux déjà pris (cela peut-être par paire, triplets,...)

Si on continue cette répartition, quelque soit la manière, nous arrivons au fait qu'au minimum 39 Suisses possèdent exactement le même nombre de cheveux.

réponse avancée

Réponse avancée :

Cette question se résout à l'aide du principe des tiroirs1. Nos deux ensembles sont :

- ensemble 1 : l'ensemble des numéros attribués aux Suisses, contenant les valeurs n1 à n7'800'000.
- ensemble 2 : le nombre de cheveux, qui contient les entiers de 0 à 200'0002.

Essayons d'établir une bijection entre ces deux ensembles :

 

Ens 1 Ens 2
n1 0
n2 1
n3 2
n4 3
... ...
n199'999 200'000

 

Comme l'ensemble 2 est plus grand que l'ensemble 1, il est impossible de tracer une bijection entre les deux. Cela signifie qu'au moins un des éléments de l'ensemble 1 sera en relation avec plus d'un élément de l'autre ensemble. Par rapport à notre problème, cela signifie qu'un moins deux Suisse possèderont le même nombre de cheveux.

Peut-on affirmer que chaque élément de l'ensemble 1 est en relation avec au moins deux éléments de l'ensemble 2 ? Non, car il se peut très bien que l'élément 100'000 cheveux soit en relation avec tous les éléments de l'ensemble 2. Cela voudrait donc dire que tous les Suisses possèderaient exactement 100'000 cheveux, une probabilité faible en réalité, mais qui implique l'impossibilité d'affirmer de manière sûre que quelqu'un d'autre possède le même nombre de cheveux que vous.

Si on continue la répartition, on peut avoir 200'000 groupes de 39 Suisses, un groupe pour chaque nombre de cheveux. On arrive à ce nombre en divisant la population par le nombre de cheveux. On peut alors affirmer qu'il y a au minimum 39 Suisses ayant le même nombre de cheveux.

 

En conclusion, il est donc certain que :

- au minimum 7'600'002 Suisses possèdent un nombre de cheveux déjà pris (si tous possèdent le même nombre, sauf les 199'998 premiers qui sont uniques).
- au minimum 39 Suisses possèdent le même nombre de cheveux (S'il y a 200'000 groupes de 39)
- au maximum 7'800'000 Suisses possèdent le même nombre de cheveux (s'ils en ont tous la même quantité)
- vous pourriez très bien ne pas faire partie de ce lot et être le seul à en avoir un nombre unique.

De nombreuses variantes de cette question sont imaginables : existe-t-il deux Parisiens avec le même nombre de cheveux, y a-t-il deux Lausannois blonds avec le même nombre de cheveux ? A vous de comparer les ensembles.

Sources

Sources internet

(1) http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,353339

(2) http://fr.wikipedia.org/wiki/Cheveu

--> voir ici pour les sources bibliographiques

Commentaires   

+1 #1 Thierry 28-09-2016 07:22
Démonstration intéressante, même si la conclusion est un peu tirée par les cheveux !!!!
;-)))
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