Combien existe-t-il de nombres premiers ? - 5.0 out of 5 based on 9 votes

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réponse simple

Réponse simple :

Les nombres premiers sont des entiers qui possèdent exactement deux diviseurs distincts : 1 et eux-mêmes1. Ils appartiennent à l’ensemble des nombres entiers naturels, c’est-à-dire ceux avec lesquels nous avons l’habitude de compter.

 

Les nombres premiers sont compris dans l'ensemble des nombres naturels
Les nombres premiers sont compris dans l'ensemble des nombres naturels

Le premier aspect à remarquer est qu’il n’existe pas de limite aux nombres entiers : quelque que soit le chiffre que l’on conçoit, on trouvera toujours un nombre supérieur à ce dernier (par exemple en lui ajoutant 1). On dit ainsi que l’ensemble des entiers naturels est infini7.

 

Il est potentiellement possible de compter jusqu'à l'infini
Il est potentiellement possible de compter jusqu'à l'infini

La question est maintenant de savoir combien on peut trouver de nombres premiers. Puisque l’ensemble des nombres naturels est infini, on peut intuitivement s’imaginer que celui des nombres premiers l’est également. Pour vérifier cette hypothèse, on utilise une démonstration dite « par l’absurde » : on suppose qu’il existe une limite aux nombres premiers et on observe les conséquences qui en découlent3.

 

Le raisonnement par l'absurde permet de prouver la véracité d'une hypothèse
Le raisonnement par l'absurde permet de prouver la véracité d'une hypothèse

Mathématiquement, ce postulat aboutit à une contradiction (voir niveau avancé pour plus de détails), ce qui nous prouve qu’il y a bien un ensemble infini de nombres premiers.

Ainsi, quel que soit le chiffre que vous imaginez, il existera toujours un nombre premier qui lui sera supérieur.

Commentaires  

+6 #2 Lagger Cyril 04-02-2012 19:02
Bon nombre de mathématiciens commenceront par te dire (comme ils savent d'ailleurs très bien le faire :-* )qu'ils ne se préoccupent pas de l'utilité de leurs travaux... Mais en insistant ils te dirons quand même que les nombres premiers sont à la base de la sécurité informatique (transaction bancaire, ...).
C'est particulièrement la difficulté de savoir si un grand nombre est premier ou non qui permet de crypter des messages et de s'assurer qu'ils ne puissent pas être décodés par des mauvais destinataires.

Pour plus de détails : fr.wikipedia.org/.../...
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+4 #1 Nadia Cardelli 04-02-2012 05:39
Je ne vois pas tellement l'utilité des nombres premiers ni de savoir s’ils sont finis ou infinis...
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